Question

（本小题满分14分）设函数（）．

（1）当时，求过点且与曲线相切的切线方程；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数有两个极值点，，且，记表示不大于的最大整数，试比较与的大小．

Answer 1

（1）（2）函数的增区间为；，函数的单调增区间为与； 函数的单调增区间为

（3） 当时，；

当时，

【解析】

试题分析：当时，曲线方程为，设切点为求导得到切线的斜率为

可得切线方程为将切线过点代入可得，则切线方程易得

（2）函数的定义域为，且令并结合定义域可得分，，讨论其单调增区间

（3）根据题意，，是的两个根，由及可得，进而解得

，则，又由得到，则， 均可由表示，且时， ，即函数是上的增函数

所以，故的取值范围是

则. 同理可得或，则与的大小可知

试题解析：（1）显然曲线方程为，设切点为

由得到切线的斜率为.则切线方程为

因为切线过点，所以，解得

所以切线方程为

（2）显然函数的定义域为，且

令并结合定义域可得

对应一元二次方程的判别式

故当，即时，对应方程有两个不等实根

与

当，即时，恒成立，

所以函数的增区间为

当时，对应方程两根为正，故函数的单调增区间为

与

当时，对应方程两根，，

故函数的单调增区间为

（3），令得

由题意知方程有两个不相等的正数根，则

解得，

解方程得，则.

又由得，

所以=,

当时， ，即函数是上的增函数

所以，故的取值范围是

则.

同理可求，=，

，即函数是上的减函数

所以，故的取值范围是

则或

当时，；

当时，.

考点：利用导数研究函数的切线，单调性等性质

考点分析： 考点1：导数在研究函数中的应用 考点2：复合函数的导数 考点3：函数的单调性与导数 考点4：函数的极值与导数 考点5：函数的最值与导数 试题属性

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