Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n＞1），a₃=27，数列{b_n}满足b_n=

1

2n

（a_n+t）．
（1）若数列{b_n}为等差数列，求b_n；
（2）在（1）的条件下，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n=3、2依次代入a_n=2a_n-1+2ⁿ+1，求出a₂、a₁，再由b_n=

1

2n

（a_n+t）求出b₁、b₂、b₃，根据等差中项求出t的值，再求出公差和等差数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）和b_n=

1

2n

（a_n+t）求出a_n，利用分组求和和错位相减法求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ+1，a₃=27得，27=2a₂+2³+1，解得a₂=9，
同理得，9=2a₁+2²+1，解得a₁=2，
∵b_n=

1

2n

（a_n+t），∴b₁=

1

2

（a₁+t）=

1

2

（2+t），
b₂=

1

22

（a₂+t）=

1

4

（9+t），b₃=

1

23

（a₃+t）=

1

8

（27+t），
∵数列{b_n}为等差数列，∴2b₂=b₁+b₃．
即

1

2

(9+t)=

1

2

(2+t)+

1

8

(27+t)，解得t=1，
则b1=

3

2

，b2=

5

2

，即公差是1，
∴bn=

3

2

+n-1=n+

1

2

；
（2）由（1）得，bn=n+

1

2

=

1

2n

（a_n+1），
解得an=(n+

1

2

)•2n-1=（2n+1）•2^n-1-1，
∴S_n=（3•2⁰-1）+（5•2-1）+（7•2²-1）+…[+（2n+1）•2^n-1-1]
则S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-n    ①，
2S_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ-2n  ②，
①-②得，-S_n=3+2（2+2²+2³+…+2^n-1）-（2n+1）2ⁿ+n
=3+2×

1-2n-1

1-2

-(2n+1)2n+n
=（1-2n）•2ⁿ+n-1，
则S_n=（2n-1）•2ⁿ-n+1．

点评：本题考查了递推公式的意义，等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、分组求和法、错位相减法等，考查分析问题和解决问题的能力．