Question

已知定义域为R的函数f（x）=|x²-1|，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，x₇，则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇=    ．

Answer 1

【答案】分析：可令f（x）=t则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0就转化为关于t的方程t²+bt+c=0作出f（x）=|x²-1|的图象根据图象可得要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解即使关于t的方程t²+bt+c=0有两个不同实根且f（x）=|x²-1|的图象与y=t的图象的交点的横坐标即为方程f²（x）+bf（x）+c=0的7个不同的实数解再结合f（x）=|x²-1|的图象可知t₁=1，0＜t₂＜1故根据对称性可得7个不同的实数解的和为0．
解答：解：令f（x）=t则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0就转化为关于t的方程t²+bt+c=0
故f（x）=|x²-1|的图象与y=t的图象的交点的横坐标即为方程f²（x）+bf（x）+c=0的7个不同的实数解
所以关于t的方程t²+bt+c=0有两个不同实
作出f（x）=|x²-1|的图象如下图则必有y=t在图示的两个位置才有关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数
解，即t₁=1，0＜t₂＜1

根据f（x）=|x²-1|的图象关于y轴对称故方程f²（x）+bf（x）+c=0的7个不同的实数解中有一个为0其余6个均关于原点对称故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇=0
故答案为0
点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．