Question

（文科）设A、B分别是直线和上的两个动点，并且，满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且（λ≠1），求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点P（x，y），再由题意设出A、B的坐标，根据列出坐标之间的关系，再由和向量模的公式，列出关于x和y的关系式，化简后得到所求的轨迹方程；
（2）设N（s，t），M（x，y），由和D的坐标列出方程组，用s和t来表示x和y，再代入曲线方程消去s，求出t有关λ的表达式，再由|t|≤4求出λ的不等式．
解答：解：（1）设P（x，y），
由题可令，，
∵，
∴即
又∵，
∴，即有．
∴轨迹C的方程为
（2）设N（s，t），M（x，y），
则由可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），
∵N、M在曲线C上，
∴
消去s得，．
∵λ≠0且λ≠1，
∴
又∵|t|≤4，
∴，解得（λ≠1）
故实数λ的取值范围为（λ≠1）．
点评：本题主要考查了求轨迹方程和椭圆性质的综合应用．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．