Question

（2013•辽宁）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C₁，直线C₂的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-

π

4

）=2

2

．
（Ⅰ）求C₁与C₂交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C₁的圆心，Q为C₁与C₂交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为

x=t3+a y= b 2 t3+1

（t∈R为参数），求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）先将圆C₁，直线C₂化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0，由参数方程可得y=

b

2

x-

ab

2

+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．

解答：解：（I）圆C₁，直线C₂的直角坐标方程分别为 x²+（y-2）²=4，x+y-4=0，
解

x2+(y-2)2=4 x+y-4=0

得

x=0 y=4

或

x=2 y=2

，
∴C₁与C₂交点的极坐标为（4，

π

2

）．（2

2

，

π

4

）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0，
由参数方程可得y=

b

2

x-

ab

2

+1，
∴

b 2 =1 - ab 2 +1=2

，
解得a=-1，b=2．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．