Question

已知{x_n}是公差为d（d＞0）的等差数列，

.

x

n表示{xn}的前n项的平均数．
（1）证明数列{

.

x

n}也是等差数列，并指出公差；
（2）记{x_n}的前n项和为S_n，{

.

x

n}的前n项和为Tn，数列{

1

S n+1-Tn+1

}的前n项和为U_n，求证：Un＜

4

d

．

Answer 1

分析：（1）由

.

x

n表示{xn}的前n项的平均数，知

.

xn

=

x1+x2+…+xn

n

，由数列的性质知

.

xn

=

Sn

n

，整理得

.

xn

=x1+(n-1)•

d

2

，所以{

.

xn

}是以x₁为首项，以

d

2

为公差的等差数列．
（2）由Sn=nx1+

n(n-1)

2

•d，知Tn=n x1+

n(n-1)

2

•

d

2

，所以Sn-Tn=

n(n-1)

4

d，由此能够证明Un＜

4

d

．

解答：证明：（1）∵

.

xn

=

x1+x2+…+xn

n

=

Sn

n

=

nx1+ n(n-1) 2 d

n

=x1+(n-1)•

d

2

，
∴{

.

xn

}是以x₁为首项，以

d

2

为公差的等差数列．
（2）∵Sn=nx1+

n(n-1)

2

•d，
Tn=n x1+

n(n-1)

2

•

d

2

，
∴Sn-Tn=

n(n-1)

4

d，
∴

1

Sn+1-Tn+1

=  

4

d

•

1

n(n+1)

=

4

d

•( 

1

n

-

1

n+1

)，
∴Un=

4

d

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

- 

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

4

d

(1-

1

n+1

)＜

4

d

．

点评：本题考查等差数列的证明和前n项和的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意算术平均数的应用．