题目内容
设函数f(x)=logax(a＞0,a≠1,a为常数）,已知数列f(x1),f(x2),…,f(xn),…是公差为2的等差数列，且x1=a4,
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）当0＜a＜1时，求
(x1+x2+…+xn)；
（3）令 g(n)=xnf(xn),当a＞1时，试比较g(n+1)与g(n)的大小.
解:(1)∵f(x1)=logaa4=4,d=2,
∴f(xn)=4+(n-1)·2=2n+2,
即logaxn=2n+2,∴xn=a2n+2.
(2)由xn=a2n+2及0＜a＜1,知{xn}是以a4为首项,a2为公比的等比数列.
∵Sn=x1+x2+…+xn=,
∴
(x1+x2+…+xn)=
.
(3)g(n)=xnf(x)=a2n+2·(2n+2)=(2n+2)·a2n+2.
∵g(n+1)=(2n+4)·a2n+4,
∴
·a2=
·a2.
∵a＞1,
＞1,∴g(n+1)＞g(n).
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