Question

已知{x_n}是公差为d的等差数列，

.

x

n表示{x_n}的前n项的平均数．
（1）证明数列{

.

x

n}是等差数列，指出公差．
（2）设{x_n}的前n项和为S_n，{

.

x

n}的前n项和为T_n，{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n项和为U_n．若d≠0，求

lim

n→∞

Un．

Answer 1

分析：（1）由{x_n}的前n项的和除以n计算出前n项和的平均数，进而判断数列{

.

x

n}是等差数列．
（2）求出x_n}的前n项和为S_n，{

.

x

n}的前n项和为T_n，再做差裂项求出，{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n项和为U_n，最后求极限得解．

解答：解：（1）∵

.

x

n=

x1+x2++xn

n

=

Sn

n

=

nx1+ n(n-1) 2 d

n

=x1+(n-1)•

d

2

，
∴{

.

x

n}是以x₁为首项，以

d

2

为公差的等差数列．
（2）∵S_n=nx1+

n(n-1)

2

d，T_n=nx1+

n(n-1)

2

•

d

2

，
∴Sn-Tn=

n(n-1)

4

•d，∴

1

Sn+1-Tn+1

=

4

d

•

1

n(n-1)

=

4

d

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Un=

4

d

•[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

4

d

•(1-

1

n+1

)，
∴

lim

n→∞

Un=

lim

n→∞

4

d

(1-

1

n+1

)=

4

d

．

点评：（1）主要考查等差数列前n项和的性质，即{

Sn

n

}仍为等差数列，要作为结论记住，考试常用．
（2）主要考查数列求和方法裂项相消法及数列极限的求法：裂项相消法是高考中的热点．