Question

已知双曲线3x²-y²=3,直线l过右焦点F₂,且倾斜角为45°,与双曲线交于A、B两点,试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.

Answer 1

分析:由题意,直线l的方程已定,欲判断直线l与双曲线的两交点A、B是否位于同一支上,需判断A、B两点横坐标的乘积x₁·x₂的符号.至于求弦长|AB|,只需用公式|AB|=1+k²·|x₁-x₂|来计算.

解:a=1,b=,c=2,e=2.

∵直线l过点F₂且倾斜角为45°,

∴直线l的方程为y=x-2,代入双曲线方程,得2x²+4x-7=0.

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

∵x₁·x₂=-＜0,

∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上.

∵x₁+x₂=-2,x₁·x₂=-,

∴|AB|=|x₁-x₂|=

绿色通道：

在运用双曲线第二定义计算焦点弦(即过焦点的弦)长时,需要判断弦的两个端点是落在双曲线的同一支还是两支上,若在同一支上,则焦点弦长等于两焦半径之差的绝对值.