Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l恰好是曲线y=x³-3x²+2x在原点处的切线，则双曲线的标准方程为

 

．

Answer 1

分析：先求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，求出在原点处的切线．再根据双曲线的焦点坐标，求得a和b的关系，进而代入焦点到渐近线的距离，求得a和b，则双曲线的渐近线方程可得．

解答：解：f′（x）=3x²-6x+2．设切线的斜率为k．
切点是原点，k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．
∵双曲线的一条渐近线方程是 y=2x，
∴

b

a

=2
又∵

|2c|

22+12

=

|2c|

5

=4
∴c=2

5

，∵c²=a²+b²
∴a²=4  b²=16
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

16

=1
故答案为

x2

4

-

y2

16

=1．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，还考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离，属于基础题．