Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围.

（2）令，是否存在实数，对任意，存在，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 或;(2) .

【解析】试题分析：（1）函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，等价于导函数f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点，但无重根；（2）由题意，函数f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集，分别求出值域，再建立不等式，即可得到结论．

（1）求导函数可得，

函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数在上存在零点，且无重根.

①根据一个零点存在定理，有，

即

整理得： ，解得；

②有两个零点， 且得.但，∴

综上或；

（2）由题意，函数值域是的值域的子集

∵， ，∴；

令

∵，∴

∴且 ∴ ∴