Question

已知直线l:x=my+1过椭圆=1的右焦点F，且交椭圆于A、B两点，点A、B在直线g : x=4上的射影为D、E.

（1）若直线l交y轴于点M，且=λ₁,=λ₂,当m变化时，求λ₁+λ₂的值；

（2）连结AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一点是N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由.

Answer 1

解：（1）由已知得M(0,),设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由得(3m²+4)y²+6my-6=0.

∴y₁+y₂=,y₁y₂=.

由=λ₁,得(x₁,y₁+)=λ₁(1-x₁,-y₁),

∴y₁+=-λ₁y₁.∴λ₁=-1.同理λ₂=-1.

∴λ₁+λ₂=-2-(+)=-2=-2+=.

（2）当m=0时，A（1，），B（1，），D（4，），E（4，）.

∵ABED为矩形，∴N（,0).

当m≠0时,D(4,y₁),E(4,y₂),∵=(-x₁,-y₁),=(,y₂),

由(-x₁)y₂+y₁=(-my₁-1)y₂+y₁=(y₁+y₂)-my₁y₂=+=0.

∴∥，即A、N、E三点共线.

同理可证，B、N、D三点共线.综上，对任意m，直线AE、BD相交于定点N(,0).