Question

如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a²上的射影依次为点D，K，E．
（1）若抛物线x²=4

3

y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．

Answer 1

分析：（1）易知b=

3

，c=1，结合a²=b²+c²可求椭圆的方程
（2）要证当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．先找m去特殊值（m=0）时AE与BD相交FK中点N(

1+a2

2

，0)故猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(

1+a2

2

，0)然后只要证明AN，EN 的斜率相等，从而可得A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线即可

解答：解：（1）易知b=

3

，c=1，a²=b²+c²=4
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（2）∵F（1，0）
当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，
由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且N(

1+a2

2

，0)
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(

1+a2

2

，0)（8分）
证明：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）E（a²，y₂）D（a²，y₁）
当m变化时首先AE过定点N

x=mu+1 b2x2+a2y2-a2b2=0

即（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0
△=4a²b²（a²+m²b²-1）＞0（a＞1）
KAN=

-y1

a2-1 2 -my1

      KEN=

-y2

1-a2 2

KAN-KEN=

a2-1 2 (y1+y2)-my1y2

1-a2 2 ( a2-1 2 -my1)

∵

a2-1

2

(y1+y2)-my1y2=

a2-1

2

(-

2mb2

a2+m2b2

)-m

b2(1-a2)

a2+m2b2

=

(a2-1)(mb2-mb2)

a2+m2b2

=0
∴k_AN=K_EN∴A、N、E三点共线
同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点N(

1+a2

2

，0)（14分）

点评：本题主要考查了圆锥曲线的性质的综合应用，而定义的灵活应用是解决本题的关键直线与曲线的相交的一般思路是联立方程组，通过方程的根与系数的关系进行求解