Question

已知直线l：x-my+1-m=0（m∈R），圆C：x²+y²+4x-2y-4=0．
（Ⅰ）证明：对任意m∈R，直线l与圆C恒有两个公共点．
（Ⅱ）过圆心C作CM⊥l于点M，当m变化时，求点M的轨迹Γ的方程．
（Ⅲ）直线l：x-my+1-m=0与点M的轨迹Γ交于点M，N，与圆C交于点A，B，是否存在m的值，使得

S△CMN

S△CAB

=

1

4

？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法1：先利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l距离d，然后比较d与圆的半径的大小即可判断
方法2：联立方程组直线与圆的方程，通过判断方程解的个数即可判断直线与圆的位置关系
方法3：将圆x²+y²+4x-2y-4=0化成标准方程，而x-my+1-m=0可得：x+1-m（1+y）=0可求直线恒过定点N（-1，-1）．由N在圆C内，可判断直线l与圆的位置关系
（Ⅱ）设CN的中点为D，由题意可知M点的轨迹T为以CN为直径的圆可求轨迹T的方程
（Ⅲ）假设存在满足条件的m，而

S△CMN

S△CAB

=

1

4

?

MN

2MB

=

1

4

?

MN

MB

=

1

2

，利用点到直线的距离公式及直线与圆相交的性质，结合勾股定理即可求解m

解答：解：（Ⅰ）方法1：圆心C的坐标为（-2，1），半径为3
圆心C到直线l距离d=

|-2-m+1-m|

1+m2

=

|2m+1|

1+m2

∴d2-9=

4m2+4m+1

1+m2

-9
=

-5m2+4m-8

1+m2

=

-5(m- 2 5 )2- 36 5

1+m2

＜0
∴d²＜9即d＜3
∴直线l与圆C恒有两个公共点
方法2：联立方程组

x-my+1=0 x2+y2+4x-2y-4=0

消去x，得（m²+1）y²+（2m²+2m-2）y+（m²+2m-7）=0
△=（2m²+2m-2）²-4（m²+1）（m²+2m-7）=4（5m²+8）＞0
∴直线l与圆C恒有两个公共点
方法3：将圆x²+y²+4x-2y-4=0化成标准方程为（x+2）²+（y-1）²=9．
由x-my+1-m=0可得：x+1-m（1+y）=0．
解

x+1=0 y+1=0

得x=-1，y=-1，所以直线l过定点N（-1，-1）．
因为N在圆C内，所以直线l与圆C恒有两个公共点．
（Ⅱ）设CN的中点为D，由于∠CMN=90°
∴DM=

1

2

CN
∴M点的轨迹T为以CN为直径的圆．
CN中点D的坐标为（-

3

2

，0），CN=

5

．
∴所以轨迹T的方程为(x+

3

2

)2+y2=

5

4

（Ⅲ）假设存在m的值，使得

S△CMN

S△CAB

=

1

4

如图所示，有

S△CMN

S△CAB

=

1

4

?

MN

2MB

=

1

4

?

MN

MB

=

1

2

，
又MB²=9-d²，MN²=5-d²，
其中d=

|-2-m+1-m|

1+m2

=

|2m+1|

1+m2

为C到直线L的距离．
所以9-d²=4（5-d²），化简得m²+12m-8=0．解得m=-6±2

11

．
所以存在m，使得

S△CMN

S△CAB

=

1

4

且m=-6±2

11

．

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质的应用，注意（1）中解题的不同的解法的应用，本题具有一定的综合性