Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（　　）

• A、直三棱柱的体积V=4
• B、直三棱柱的表面积为8+4

  2

• C、AB₁∥平面BDC₁
• D、A₁C⊥平面BDC₁

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图

专题：空间位置关系与距离

分析：利用体积公式计算棱柱的体积，可判断A是否正确；
根据棱柱表面积公式计算棱柱的表面积，由此判断B是否正确．
利用面面平行的性质判断C是否正确；
根据线面垂直的判定定理证明A₁C⊥平面BDC₁，

解答：解：由三视图知：直三棱柱的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴体积V=

1

2

×2×2×2=4，
∴A正确；
由直三棱柱的结构特征知，棱柱的底面周长为2+2+2

2

=4+2

2

，
∴直三棱柱的表面积S=2×

1

2

×2×2+（4+2

2

）×2=12+4

2

，
故B错误；
取A₁C₁中点O，连接OB₁，AO，
∵D为AC的中点，
∴四边形DAOC₁为平行四边形，
∴AO∥C₁D，又四边形BDOB₁为平行四边形，
∴BD∥OB₁，
∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁?平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
故C正确；
∵由三视图知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，
∴BC₁⊥A₁C；
∵由侧视图知△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴A₁C⊥BD，又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面BDC₁．
故D正确；
故选B．

点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，空间线面关系的判断，解决本题的关键是得到该几何体的形状．