题目内容

已知数列{a_n}满足 $数学公式$
（1）设 $数学公式$ ．
（2）设 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求数列{d_n}的前n项和S_n．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
代入 $\text{[math]}$ ，化为 $\text{[math]}$ ．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+ $\text{[math]}$ +（n-2）+ $\text{[math]}$ +…+1+ $\text{[math]}$ +1
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =2ⁿ⁺¹-1．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_n= $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，变形得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，即可化为 $\text{[math]}$ ．利用“累加求和”及等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）利用（1）的结论和“裂项求和”即可得出．
点评：熟练掌握“累加求和”、等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、变形代入等是解题的关键．注意利用已经证明的结论．