Question

15．已知n=$\int_0^3{（{2x-1}）dx}$，则${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展开式中x²的系数为1．

Answer 1

分析 利用微积分基本定理可得n=$\int_0^3{（{2x-1}）dx}$=$（{x}^{2}-x）{|}_{0}^{3}$=6，利用${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展开式中的通项公式：T_k+1=（-1）^k•3^6-k•${∁}_{6}^{k}$${x}^{\frac{5k}{6}-3}$，令$\frac{5k}{6}$-3=2，解得k即可得出．

解答 解：n=$\int_0^3{（{2x-1}）dx}$=$（{x}^{2}-x）{|}_{0}^{3}$=6，
则${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展开式中的通项公式：T_k+1=${∁}_{6}^{k}（\frac{3}{\sqrt{x}}）^{6-k}（-\root{3}{x}）^{k}$=（-1）^k•3^6-k•${∁}_{6}^{k}$${x}^{\frac{5k}{6}-3}$，
令$\frac{5k}{6}$-3=2，解得k=6．
∴x²的系数=$（-1）^{6}×{3}^{0}•{∁}_{6}^{6}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了二项式定理的应用、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．