Question

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使平面EFCD和平面ABEF所成二面角的大小为60°，
（Ⅰ）求证：直线BC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求二面角C-BD-A的大小：

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得∠BFC为平面EFCD和平面ABEF所成二面角的平面角，从而∠BFC=60°，CF=BF•cos∠BFC，BC⊥CF，又EF⊥BF，EF⊥CF，EF⊥平面BFC，EF⊥BC，由此能证明直线BC⊥平面CDEF，
（Ⅱ）由已知得BB₁⊥平面EB₁C₁．将图形补形成如图形所示的正三棱柱ADE-BGF，作CH⊥BG，垂足为H，则CH⊥平面ADGB，作HM⊥BD于点M，连结CM，由三垂线定理得CM⊥BD，∠CMH是二面角C-BD-G的平面角，又二面角C-BD-G与二面角C-BD-A互补，由此能求出二面角C-BD-A的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵BF⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BFC为平面EFCD和平面ABEF所成二面角的平面角，
∵平面EFCD和平面ABEF所成二面角的大小为60°，
∴∠BFC=60°，CF=BF•cos∠BFC，BC⊥CF，①
又EF⊥BF，EF⊥CF，EF⊥平面BFC，EF⊥BC，②
由①②知直线BC⊥平面CDEF，
（Ⅱ）解：∵BB₁∥CC₁，CC₁⊥平面EB₁C₁，∴BB₁⊥平面EB₁C₁．
将图形补形成如图形所示的正三棱柱ADE-BGF，
作CH⊥BG，垂足为H，则CH⊥平面ADGB，作HM⊥BD于点M，连结CM，
由三垂线定理得CM⊥BD，
∴∠CMH是二面角C-BD-G的平面角，
△ADE为正三角形，四边形ABGB是正方形，
∴HM=

3

8

AG=

3

4

2

，CH=

3

2

，
tan∠CMH=

CH

HM

=

6

3

，∠CMH=arctan

6

3

，
又二面角C-BD-G与二面角C-BD-A互补，
∴二面角C-BD-A的大小为π-arctan

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．