Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，把函数p（x）=f（x）-x的零点从小到大的顺序排成一列，依次为x₁、x₂、x₃，…，则x₃+x₅与2x₄大小关系为（　　）

• A． x₃+x₅＜2x₄
• B． x₃+x₅=2x₄
• C． x₃+x₅＞2x₄
• D． 无法确定

Answer 1

分析 先借助函数图象判断p（x）在（-∞，0]上的零点个数，再根据函数的性质判断p（x）在（0，+∞）上的零点规律，即可得出答案．

解答 解：令e^2x-1=x得e^2x=x+1，（x≤0）
作出y=e^2x和y=x+1的函数图象如图所示：

由图象可知p（x）在（-∞，0]上有两个零点，
设x₁=a，则x₂=0，-1＜a＜0．
∴f（a）=a，f（0）=0，
∵当x＞0时，f（x）=f（x-1）+1，
∴f（a+1）=f（a）+1=a+1，
f（a+2）=f（a+1）+1=a+2，
…
f（a+n）=f（a+n-1）=a+n，n∈N．
∴a+1，a+2，…，a+n为p（x）的零点，
又f（1）=f（0）+1=1，f（2）=f（1）+1=2，f（3）=f（2）+1=3，…，f（n）=n，n∈N．
∴1，2，3，…，n为p（x）在（0，+∞）上的零点，
∴x₃=a+1，x₄=1，x₅=a+2，
x₃+x₅=2a+3，2x₄=2×2=4，
∵-1＜a＜0，
∴x₃+x₅＜2x₄，
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质与函数零点的判断，属于中档题．