Question

15．已知|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=8，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是120°．
（1）计算：|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|
（2）当k为何值时，（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）⊥（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）？

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出k的值．

解答 解：由已知得，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|cos120°=4×8×（-$\frac{1}{2}$）=-16．
（1）①∵|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|²=|$\overrightarrow a$|²+|$\overrightarrow b$|²+2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=16+2×（-16）+64=48，
∴|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=4$\sqrt{3}$．
（2）∵（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）⊥（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），
∴（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=0，
∴k|$\overrightarrow a$|²-2|$\overrightarrow b$|²+（2k-1）$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即16k-16（2k-1）-2×64=0．
∴k=-7．
即k=-7时，（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）⊥（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）．

点评 本题考查向量的数量积公式、向量模的性质：向量的平方等于向量模的平方、向量垂直的充要条件．