Question

1．如图，F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右两个焦点，|F₁F₂|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足$\overrightarrow{A{F_1}}$=2$\overrightarrow{B{F_2}}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线AF₁的方程；
（Ⅲ）求平行四边形AA₁B₁B的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右两个焦点，|F₁F₂|=4，长轴长为6，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AF₁的方程为y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}\right.$，得$（{\frac{5}{k^2}+9}）{y^2}-\frac{20}{k}y-25=0$，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF₁的方程．
（Ⅲ）由${S_{A{A_1}{B_1}B}}=2{S_{△A{A_1}{F_2}}}=|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|$，利用弦长公式能求出四边形AA₁B₁B的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右两个焦点，|F₁F₂|=4，长轴长为6，
∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，
∵$2\sqrt{{a^2}-{b^2}}=4$，∴b²=5…（2分）
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$…（4分）
（Ⅱ）设直线AF₁的方程为y=k（x+2），且交椭圆于A（x₁，y₁），A₁（x₂，y₂）两点．
由题意知$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}\right.$，即$（{\frac{5}{k^2}+9}）{y^2}-\frac{20}{k}y-25=0$，
△＞0，${y_1}+{y_2}=\frac{20k}{{5+9{k^2}}}$，①，${y_1}•{y_2}=\frac{{-25{k^2}}}{{5+9{k^2}}}$，②…（6分）
∵${\overrightarrow{AF}_1}=2{\overrightarrow{BF}_2}$，∴y₁=-2y₂③
联立①②③消去y₁y₂，得$k=\sqrt{3}$．
∴直线AF₁的方程为$y=\sqrt{3}（x+2）$…（8分）
（Ⅲ）∵AA₁B₁B是平行四边形，
∴${S_{A{A_1}{B_1}B}}=2{S_{△A{A_1}{F_2}}}=|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|$…（10分）
=$4|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{\sqrt{{{（20\sqrt{3}）}^2}+4×32×75}}}{8}=\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
∴四边形AA₁B₁B的面积为$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆、直线方程的求法，考查四边形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量知识、弦长公式的合理运用．