题目内容
17．已知x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，若2x+y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）| A． | （-∞，-1-$\sqrt{10}$） | B． | $（-1-\sqrt{10}，-1+\sqrt{10}）$ | C． | $[{-1+\sqrt{10}，+∞}）$ | D． | $[{-1-\sqrt{10}，-1+\sqrt{10}}]$ |
分析 先把2x+y转化为2x+y=（2x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+y＞m2+2m恒成立求得m2+2m＜9，进而求得m的范围．
解答 解：∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，
∴2x+y=（2x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=4+1+$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{2x}{y}}$=9，
当且仅当x=y=3时取等号，
∵2x+y＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜9，
解得-1-$\sqrt{10}$＜x＜-1+$\sqrt{10}$，
故选：B．
点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
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| A． | 向左平移$\frac{π}{12}$单位 | B． | 向左平移$\frac{π}{6}$单位 | C． | 向右平移$\frac{π}{12}$单位 | D． | 向右平移$\frac{π}{6}$单位 |
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| A． | x3+x5＜2x4 | B． | x3+x5=2x4 | C． | x3+x5＞2x4 | D． | 无法确定 |