Question

13．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为奇函数便得到f（-1）=-f（1），这样可求出c=0，而根据f（1）=2，f（2）＜3便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{b}=2}\\{\frac{4a+1}{2b}＜3}\end{array}\right.$，而根据a，b∈Z即可求出a=1，b=1；
（2）先写出$f（x）=x+\frac{1}{x}$，根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，可以判断x₁-x₂＞0，从而可以看出x₁，x₂∈（0，1）时，f（x₁）＜f（x₂），而x₁，x₂∈（1，+∞）时，f（x₁）＞f（x₂），这样即可得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）f（x）为奇函数；
∴f（-1）=-f（1）；
∴$\frac{a+1}{-b+c}=-\frac{a+1}{b+c}$；
∴-b+c=-b-c；
∴c=0；
又f（1）=2，f（2）＜3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{b}=2}\\{\frac{4a+1}{2b}＜3}\end{array}\right.$；
解得-1＜a＜2，a∈Z；
∴a=0，或1；
a=0时，b=$\frac{1}{2}$，a=1时，b=1；
∵b∈Z；
∴a=1，b=1，c=0；
（2）$f（x）=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$；
设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∴①x₁，x₂∈（0，1）时，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＜0$；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，1]上单调递减；
②x₁，x₂∈（1，+∞）时，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评 考查奇函数的定义，注意条件a，b∈Z的应用，函数单调性的定义，以及根据函数的单调性定义讨论一个函数的单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后为分式的一般要通分，一般需提取公因式x₁-x₂．