Question

18．设A（-1，0），B（1，4），动点P满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）若点Q是关于直线P关于直线y=x-4的对称点，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式，即可求出动点P的轨迹方程；
（2）求出点Q是关于直线P关于直线y=x-4的对称点，利用（1）的结论求动点Q的轨迹方程．

解答 解：（1）设P（x，y），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，
∴（-1-x，-y）•（1-x，4-y）=4，
∴（-1-x）（1-x）+（-y）（4-y）=4，
∴x²+y²-4y-5=0，
（2）设Q（a，b），则
∵点Q是点P关于直线y=x-4的对称点，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-b}{x-a}=-1}\\{\frac{y+b}{2}=\frac{x+a}{2}-4}\end{array}\right.$，
∴x=b+4，y=a-4，
∴（b+4）²+（a-4）²-4（a-4）-5=0，
即（y+4）²+（x-4）²-4（x-4）-5=0为Q的轨迹方程．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量的数量积公式，考查代入法求轨迹方程，属于中档题．