Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=-16，3a_n=3a_n-1+2（n∈N^*），若a_na_n+2＜0，则n=24．

Answer 1

分析 由已知递推式可得数列{a_n}是以-16为首项，以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列，求其通项公式后代入a_na_n+2＜0求得n的值．

解答 解：由3a_n=3a_n-1+2，得${a}_{n}-{a}_{n-1}=\frac{2}{3}$（n≥2），
又a₁=-16，
∴数列{a_n}是以-16为首项，以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列，
则${a}_{n}=-16+\frac{2}{3}（n-1）=\frac{2}{3}n-\frac{50}{3}$．
由a_na_n+2=$（\frac{2}{3}n-\frac{50}{3}）（\frac{2}{3}n-\frac{46}{3}）＜0$，得
（n-25）（n-23）＜0，即23＜n＜25．
∵n∈N^*，∴n=24．
故答案为：24．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列的通项公式的求法，是中档题．