Question

【题目】如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为 ，半径OA为1Km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，

（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围．
（2）当θ为何值时，观光道路最长？

Answer 1

【答案】
（1）解：在△COD中，由正弦定理得 ，又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，所以

因为OD＜OB，所以 ，所以 ，所以

，θ的取值范围为

（2）设道路长度L（θ），则 ，

由L′（θ）=0得 ，又 ，所以

易得θ∈（0， ），L′（θ）＞0，θ∈（ ， ），L′（θ）＜0，

∴ 时，L（θ）取到最大值，即θ= 时，观光道路最长．

【解析】（1）根据三角形的角和边的关系，利用正弦定理，将OD和CD用表示出来，利用CD的范围即可得出的范围；（2）将道路长度用的函数表示出来，再用求导求出函数的最大值