Question

【题目】已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足 ，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn ．
（Ⅰ）求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求{Cn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵anbn+1﹣bn+1=nbn．

当n=1时，a1b2﹣b2=b1．

∵ ，

∴a1=3，

又∵{an}是公差为2的等差数列，

∴an=2n+1，

则（2n+1）bn+1﹣bn+1=nbn．

化简，得

2bn+1=bn，即 = ，

所以数列{bn}是以1为首项，以 为公比的等比数列，

所以bn=（ ）n﹣1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n+1，

所以 = = （ ﹣ ），

所以Sn=c1+c2+c3+…+cn

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （ ﹣ ）

= ．

【解析】（1）当n=1时，解出,根据题意得出的通项公式，代入递推公式不难得出的通项公式，（2）写出的通项公式，进行列项求和，得出.
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．