Question

（1）求函数y=x+(x＜0)的最大值；

（2）求函数y=+x(x＞3)的最小值；

（3）求函数y=x(a-2x)(x＞0,a为大于2x的常数)的最大值.

Answer 1

解:（1）∵x＜0,

∴y=x+=-［(-x)+］≤-2=(当且仅当x=时，取“=”).

∴y_max=.

(2)∵x＞3,

∴y=+x=+(x-3)+3≥5(当且仅当x-3=,即x=4时，取“=”).

∴y_min=5.

(3)∵x＞0,a＞2x,

∴y=x(a-2x)

=·2x·(a-2x)

≤·［］²

=(当且仅当x=时，取“=”).

温馨提示

(1)使用≥(a、b∈R⁺)，求函数最值的三个条件：①x、y均为正数，②xy与x+y有一为定值，③等号一定要取到，此三个条件缺一不可.

（2）此题考查定理“≥(a、b∈R⁺)”及其变形“ab≤()²(a、b∈R⁺)”的应用，同时考查为了使用算术平均数和几何平均数定理而对数学式的变形能力.

（3）此题考查函数f(x)=+bx(a＞0,b＞0,x＞0)最值的求法.可用算术平均数和几何平均数定理求解，但必须保证等号取到.若等号取不到，可用其单调性求最值.函数f(x)=+bx，在x∈（0，］上单调递减，在［,+∞)上单调递增.