Question

9．如图，已知圆柱OO′的底面半径为12，与底面成β角（其中cosβ=$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{5}{13}$）的截面α截圆柱所得的平面图形为椭圆，已知球C₁，C₂分别与圆柱的侧面、底面相切，与截面α相切于点M、N，在圆柱OO′的体积为（　　）

• A． 7500π
• B． 7200π
• C． 7800π
• D． 8100π

Answer 1

分析 根据地面半径和截面与底面的夹角计算椭圆的长短轴，从而求出圆柱的高，代入圆柱的体积公式即可得出．

解答 解：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
设椭圆的长轴一端点为A，球C₂与A所在的母线的切点为B，C₂N，C₂A，C₂B，
则$\left\{\begin{array}{l}{2acosβ=24}\\{2b=24}\end{array}\right.$，∴a=13，b=12，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=5，
∴AN=a-c=8．
∵Rt△ANC₂∽Rt△ABC₂，
∴AB=AN=8，
∴圆柱的高OO′=2×（12+8）+2asinβ=50．
∴圆柱的体积V=π×12²×50=7200π．
故选B．

点评 本题考查了圆柱的体积计算，计算椭圆的长短轴是解题关键．