Question

从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

Answer 1

l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0

解析:

方法一  如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则k_AB=,根据光的反射定律，

反射光线的斜率k_反=.

∴反射光线所在直线的方程为

y=(x-b),

即3x-(b+3)y-3b=0.

∵已知圆x²+y²-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），

半径为1,

∴=1,解得b₁=-,b₂=1.

∴k_AB=-或k_AB=-.

∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

方法二 已知圆C：x²+y²-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C₁：(x-2)²+(y+2)²=1，其圆心C₁的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C₁相切.

设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,

即12k²+25k+12=0.

∴k₁=-，k₂=-.

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

方法三  设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.

∴消去b得=1.

即12k²+25k+12=0,∴k₁=-,k₂=-.

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.