Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，

3(1+an+1)

1-an

=

2(1+an)

1-an+1

，a_na_n+1＜0（n≥1），数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（Ⅱ）证明：数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列．

Answer 1

分析：（1）对

3(1+an+1)

1-an

=

2(1+an)

1-an+1

化简整理得1-

a

2 n+1

=

2

3

(1-

a

2 n

)，令c_n=1-a_n²，进而可推断数列{c_n}是首项为c1=

3

4

，公比为

2

3

的等比数列，根据等比数列通项公式求得c_n，则a²_n可得，进而根据a_na_n+1＜0求得a_n．
（2）假设数列{b_n}存在三项b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b_n}为等比数列，于是有b_r＞b_s＞b_t，则只有可能有2b_s=b_r+b_t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，1-

a

2 n+1

=

2

3

(1-

a

2 n

)
令c_n=1-a_n²，则cn+1=

2

3

cn
又c1=1-

a

2 1

=

3

4

，则数列{c_n}是首项为c1=

3

4

，公比为

2

3

的等比数列，即cn=

3

4

(

2

3

)n-1，
故1-

a

2 n

=

3

4

(

2

3

)n-1?

a

2 n

=1-

3

4

(

2

3

)n-1，
又a1=

1

2

＞0，a_na_n+1＜0
故an=(-1)n-1

1- 3 4 ( 2 3 )n-1

因为bn=an+12-an2=1-

3

4

(

2

3

)n-1+

3

4

(

2

3

)n-1=

1

4

•(

2

3

)n-1，
故bn=

1

4

•(

2

3

)n-1
（Ⅱ）假设数列{b_n}存在三项b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，
由于数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为

2

3

的等比数列，于是有2b_s=b_r+b_t成立，则只有可能有2b_r=b_s+b_t成立，
∴2•

1

4

(

2

3

)s-1=

1

4

(

2

3

)r-1+

1

4

(

2

3

)t-1
化简整理后可知，由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b_n}中任意三项不可能成等差数列．

点评：本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．