题目内容

已知函数f（x）=cos $数学公式$ $数学公式$
（1）当x $数学公式$ 时，求函数f（x）值域
（2）将函数f（x）的图象向右平移h（0＜h＜π）个单位，得到函数g（x）的图象关于直线x= $数学公式$ 对称，求g（x）单调递增区间．

解：（1）f（x）=cos $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ •（1+cos2x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
∵当x $\text{[math]}$ ，∴x+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，∴sin（x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，1]，
∴f（x）的值域为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
（2）将函数f（x）的图象向右平移h（0＜h＜π）个单位，得到函数g（x）=sin（x-h+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ 的图象．
再由g（x）的图象关于直线x= $\text{[math]}$ 对称，可得 x-h+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
即 h=-kπ+ $\text{[math]}$ ，∴h= $\text{[math]}$ ，故函数g（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
令2kπ- $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，根据x的范围求出f（x）的值域．
（2）根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin（x-h+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由g（x）的图象关于直线x= $\text{[math]}$ 对称，可得 x-h+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出h的值，可得g（x）的解析式为g（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，令2kπ- $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的增区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的单调性，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．