Question

把函数f(x)=sin²x-2sinxcosx+3cos²x的图象沿x轴向左平移m(m＞0)个单位，所得函数的图象关于直线x=π对称.

(1)求m的最小值；

(2)证明当x∈(-π,-π)时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；

(3)设x₁,x₂∈(0,π),x₁≠x₂,且f(x₁)=f(x₂)=1,求x₁+x₂的值.

Answer 1

分析：(1)f(x)的图象平移后关于直线x=π对称，则x=π使平移后的函数式取最值；(2)只需计算图象上任两点斜率的范围；(3)可求出x₁,x₂的值即可.

解：(1)f(x)=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=-sin2x+3·

=cos2x-sin2x+2=cos(2x+)+2.

    将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位得到函数g(x)=cos［2(x+m)+］+2的图象.

∵g(x)的图象关于直线x=π对称，∴2(π+m)+=kπ(k∈Z)即m=(k∈Z),又m＞0，∴m的最小值为(k=5时取得).

(2)∵-π＜x＜-π,∴-4π＜2x+＜-π,∴f(x)在(-π,-π)上是减函数.于是x₁,x₂∈(-π，-π)，且x₁＜x₂,便有f(x₁)＞f(x₂)从而经过两点(x₁,f(x₁),(x₂,f(x₂))的斜率k=＜0.

(3)f(x)=1cos(2x+)=-,在(0，π)内满足cos(2x+)=-的值为和.∵f(x₁)=f(x₂)=1.且x₁,x₂∈(0,π).x₁≠x₂,∴x₁+x₂=+=π

另法：由2x+=kπ(k∈Z)得x=-

∴在(0，π)内的对称轴为x=π和x=π

    又f(x₁)=f(x₂)=1,且x₁,x₂∈(0,π).x₁≠x₂,x∈(π,π)时f(x)≠1.

∴x₁+x₂＝2×π=π.