Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式，化简函数的解析式为

1

2

+sin（2ωx-

π

6

），根据周期等于π 求出ω 值．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出x的范围即得f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）根据 x∈[0，

2π

3

]，可得 2x-

π

6

 的范围，利用正弦函数的定义域和值域求出函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上
 的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)=sin2ωx+

3

sinωx • cosωx 
=

1-cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=

1

2

+sin（2ωx-

π

6

），且它的周期等于π，∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1，∴f（x）=

1

2

+sin（2x-

π

6

）．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，故f（x）的单调递减区间为
[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（Ⅲ）∵x∈[0，

2π

3

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，故当 2x-

π

6

=

π

2

时，函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上
有最大值为

3

2

．

点评：本题考查二倍角公式、两角和差的正弦公式，三角函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，是一道中档题．