Question

给出下列命题；
①设[x]表示不超过x的最大整数，则[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]=649；
②定义在R上的函数f（x），函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
③函数f（x）=

x-1

2x+1

的对称中心为（-

1

2

，-

1

2

）；
④已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²+1在x=1处有极值11，则f（-1）=3或31；
⑤定义：若任意x∈A，总有a-x∈A（A≠∅），就称集合A为a的“闭集”，已知A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个．
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,简易逻辑

分析：对命题一一验证．①若2ⁿ≤x＜2ⁿ⁺¹，则x有n个取值；②函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象可由函数f（x）的平移，对称得到；③函数f（x）=

x-1

2x+1

=

1

2

-

3

2(2x+1)

，则对称中心为（-

1

2

，

1

2

）；④求a，b的值，然后求f（-1）；⑤由两个元素组合在一起，得集合A．

解答： 解：①[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]
=0+1+1+2+2+2+2+…+6+7
=0×2⁰+1×2¹+2×2²+…+6×2⁶+7
=649；故正确；
②函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于x=1对称；故不正确；
③函数f（x）=

x-1

2x+1

=

1

2

-

3

2(2x+1)

，则对称中心为（-

1

2

，

1

2

）；故不正确；
④∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²+1在x=1处有极值11，f′（x）=3x²+2ax+b；
∴

1+a+b+a2+1=11 3+2a+b=0 △=(2a)2-12b＞0

解得，a=4，b=-11．
则f（-1）=-1+4+11+1+1=16
故不正确；
⑤由题意知，1与5同时出现，2与4同时出现，3可单独出现，6不能出现；
则集合A={1，5}或A={2，4}或A={3}或A={1，5，2，4}或A={1，5，3}或A={2，4，3}或A={1，5，2，4，3}．

点评：本题考查了命题的真假性的判断，考查了数的变化，图象变化，及极值问题等．