题目内容
已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=lgx，求x•f（x）≤0的解集．
考点：函数的定义域及其求法
专题：函数的性质及应用
分析：根据函数的奇偶性，先求出x＜0时函数的表达式，从而求出各个区间上函数的解集，进而求出函数的解集．
解答：
解：∵x＞0时，f（x）=lgx，
∴x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=lg（-x）=-f（x），
∴x＜0时，f（x）=-lg（-x），
∴x＞0时，x•lgx≤0，解得：0＜x≤1，
x＜0时，x•（-lg（-x）≤0，解得：-1≤x＜0，
又x=0时，f（0）=0，成立，
∴x•f（x）≤0的解集是：[-1，1]．
∴x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=lg（-x）=-f（x），
∴x＜0时，f（x）=-lg（-x），
∴x＞0时，x•lgx≤0，解得：0＜x≤1，
x＜0时，x•（-lg（-x）≤0，解得：-1≤x＜0，
又x=0时，f（0）=0，成立，
∴x•f（x）≤0的解集是：[-1，1]．
点评：本题考查了函数的解集问题，考查函数的奇偶性，考查求函数的解析式问题，是一道中档题．
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