题目内容

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面 ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4 $数学公式$ ，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面 PAC⊥侧面PBC；
（2）求点P到平面BEF的距离；
（3）求异面直线AE与 BF所成的角的余弦．

解：（1）以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由条件可设P（0，0，4 $\text{[math]}$ ），B（0，0，0），C（0，-4 $\text{[math]}$ ，0），A（4 $\text{[math]}$ ，-4 $\text{[math]}$ ，0）；
则E（0，-2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），F（2 $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），
平面PBC的法向量 $\text{[math]}$ =（1，0，0），而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =0，所以侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）证明：在等腰直角三角形PBC中，BE⊥PC，又中位线EF∥AC，而由（1）AC⊥平面PBC，则EF⊥平面PBC，
∴EF⊥PC，
所以PC⊥平面BEF，那么线段 $\text{[math]}$ 即为点P到平面BEF的距离．
（3）由（1）所建坐标系，得 $\text{[math]}$ =（-4 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（2 $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-16，又| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |=24 $\text{[math]}$ ，
cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=- $\text{[math]}$ ，∴AE与 BF所成的角的余弦值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，分别求出侧面 PAC的一个法向量和侧面PBC一个法向量，代入向量夹角公式，判断两个向量的数量积为0，即可得到侧面 PAC⊥侧面PBC；
（2）根据（1）的结论，我们可得EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，由面面垂直的性质可得PC⊥平面BEF，故PE长即为P点到平面PEF的距离．
（3）求异面直线AE与 BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出求异面直线AE与 BF所成的角的余弦．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，其中（1）（3）的关键是利用空间坐标系，将线线夹角及面面夹角转化为向量夹角问题，（2）的关键是求了点P到平面BEF距离对应的线段的长．