Question

已知数列O、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设T_n=S_2n-S_n，求证：，T_n+1＞T_n；
（Ⅲ）求证：对任意的1•k+1+k²=3，k∈R^*，∴k=1都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用由b_n=a_n-1及a_n-1=a_n（a_n+1-1），可得b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而可得，即可证明数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（Ⅱ）先求得，进而可得T_n=S_2n-S_n═，利用作出比较法，即可得出结论．
（Ⅲ）用数学归纳法证明，先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即，利用假设，证明当n=k+1时，不等式成立即可．
解答：证明：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1，代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾
从而得，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列（4分）
（Ⅱ）∵，则．
∴
∴T_n=S_2n-S_n=
=（6分）
∵
==
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当n=1时，不等式成立；（9分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即，
那么当n=k+1时，==（12分）
=
∴当n=k+1时，不等式成立
由①②知对任意的n∈N^*，不等式成立（14分）
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的和，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，正确求和，掌握数学归纳法的步骤．