Question

如图，已知A（1，0），B（0，2），C₁为AB的中点，O为坐标原点，过C₁作C₁D₁⊥OA于D₁点，连接BD₁交OC₁于C₂点，过C₂作C₂D₂⊥OA于D₂点，连接BD₂交OC₁于C₃点，过C₃作C₃D₃⊥OA于D₃点，如此继续，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），记D_n的坐标为（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n与a_n+1的关系式，并求出a_n的表达式；
（3）设△OC_nD_n的面积为b_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意知直线BD₁的方程：

x

1 2

+

y

2

=1，直线OC₁的方程：y=2x，由此可解得C₂的横坐标为a2=

1

3

．
（2）设D_n（a_n，0），由题意知直线BD_n的方程为

x

an

+

y

2

=1，联立OC₁：y=2x，可解得x=an+1=

an

an+1

，由引可知an=

1

n+1

．
（3）由题意知

S△OCnDn

S△OC1D1

=

bn

b1

=(

ODn

OD1

)2=(

an

a1

)2=4an2，由此可知S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=

1

22

+

1

32

+

1

42

++

1

(n+1)2

＜

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

n+1

＜

3

4

．

解答：解（1）∵C₁为AB中点，∴C₁（

1

2

，1），D₁（

1

2

，0），a1=

1

2

，
直线BD₁的方程：

x

1 2

+

y

2

=1，直线OC₁的方程：y=2x，
可解得C₂的横坐标为a2=

1

3

（2分）

（2）设D_n（a_n，0），直线BD_n的方程为

x

an

+

y

2

=1，联立OC₁：y=2x，
可解得x=an+1=

an

an+1

，∴

1

an+1

=

1

an

+1（5分）
∴数列{

1

an

}是首项为2公差为1的等差数列，∴

1

an

=n+1，∴an=

1

n+1

（8分）

（3）b1=S△OC1D1=

1

4

∵△OC_nD_n～△OC₁D₁
∴

S△OCnDn

S△OC1D1

=

bn

b1

=(

ODn

OD1

)2=(

an

a1

)2=4an2，
∴bn=an2=

1

(n+1)2

（11分）
S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=

1

22

+

1

32

+

1

42

++

1

(n+1)2

＜

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

=

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

n

-

1

n+1

)
=

3

4

-

1

n+1

＜

3

4

（14分）

点评：本题综合考查数列的性质的应用，解题时要认真分析，仔细求解．