Question

16．已知：函数$f（x）=2\sqrt{3}sin（π-x）sin（\frac{π}{2}-x）+2cos（π+x）sin（\frac{3π}{2}+x）+2$
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，利用周期公式可求f（x）的最小正周期，由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得单调递减区间．
（2）由f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+3=4，可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，可求A的值，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理即可求得a的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+2=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得单调递减区间为：[k$π+\frac{π}{6}$，k$π+\frac{2π}{3}$]，k∈Z…6分
（2）f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+3=4，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜2π+$\frac{π}{6}$，∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}csin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}c}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得c=2．
∴a²=b²+c²-2bccosA=3，解得：a=$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，考查了正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．