Question

5．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=$\frac{3}{2}{x^2}$-9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）由图象过点P（0，2）求出d的值，再代入求出导数，再由切线方程求出f（-1）、f′（-1），分别代入求出b和c的值；
（2）将条件转化为x³-$\frac{9}{2}$x²+6x=a有三个根，再转化为h（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x的图象与y=a图象有三个交点，再求出h（x）的导数、临界点、单调区间和极值，再求出a的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2．
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
由在M（-1，f（-1））处的切线方程是6x-y+7=0，
∴-6-f（-1）+7=0，得f（-1）=1，且f′（-1）=6．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-2b+c=6}\\{-1+b-c+2=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2b-c=-3}\\{b=c}\end{array}\right.$，解得b=c=-3．
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2；
（2）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，
∴方程x³-3x²-3x+2=$\frac{3}{2}$x²-9x+a+2有三个根，
即x³-$\frac{9}{2}$x²+6x=a有三个根，
令h（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．
接下来求h（x）的极大值与极小值，
∴h′（x）=3x²-9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，
当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，
∴h（x）的增区间是（-∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），
∴h（x）的极大值为h（1）=$\frac{5}{2}$，h（x）的极小值为h（2）=2
因此2＜a＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的性质：单调性和极值等，涉及了函数图象的交点与方程之间的转化问题，待定系数法求解析式