Question

【题目】设，函数.

（1）若，极大值；

（2）若无零点，求实数的取值范围；

（3）若有两个相异零点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；

（2） ，就分类讨论即可；

（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.

详解:（1）当时，，

当时，，当时，，

故的极大值为.

（2），

①若时，则，是区间上的增函数，

∵，，

∴，函数在区间有唯一零点；

②若，有唯一零点；

③若，令，得，

在区间上，，函数是增函数；

在区间上，，函数是减函数；

故在区间上，的极大值为，

由于无零点，须使，解得，

故所求实数的取值范围是．

（3）由已知得，

所以，

故等价于即．

不妨设，令，，

则，在上为单调增函数，

所以即，也就是，故原不等式成立．