Question

已知各项均为正数的数列满足：。
（1）求的通项公式
（2）当时，求证：

Answer 1

（1），猜测：。用数学归纳法证明。
（2）即证：

试题分析：（1），猜测：。下用数学归纳法证明：
①当，猜想成立；
②假设当时猜想成立，即，
由条件，
，
两式相减得：，则当时，
，
时，猜想也成立。
故对一切的成立。
（2），即证：
对，令（），则
，
显然，，所以，
所以，在上单调递减．
由，得，即．
所以，．       
所以


．  得证。
点评：难题，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。归纳推理问题，往往与数列知识相结合，需要综合应用数列的通项公式、求和公式等求解。本题利用数学归纳法证明不等式，对数学式子变形能力要求较高。