题目内容
【题目】如图
，在直角梯形
中，
，
，
，
，
是
的中点，
是
与
的交点．将
沿折起到
的位置，如图
．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）若平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
试题（Ⅰ）先证
，
，再可证
平面
，进而可证
平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面
和平面
的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）在图1中，
因为
，
，
是
的中点，
，所以
即在图2中，，
从而平面
又
，所以平面．
（Ⅱ）由已知，平面
平面
，又由（Ⅰ）知，
，
所以
为二面角
的平面角，所以
．
如图，以
为原点，建立空间直角坐标系，
因为
，
所以
得
，
．
设平面
的法向量
，平面
的法向量
，平面与平面夹角为
，
则
，得
，取
，
，得
，取
，
从而
，
即平面与平面夹角的余弦值为．
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