Question

【题目】已知抛物线：准线为，焦点为，点是抛物线上位于第一象限的动点，直线（为坐标原点）交于点，直线交抛物线于、两点，为线段中点．

（1）若，求直线的方程；

（2）试问直线的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是，定值0

【解析】

（1）由=5及抛物线定义得点横坐标为4，求出直线 OA的方程，进而求得，利用点斜式方程即可得到直线的方程；

（2）由已知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为，与准线联立

解得；由为线段中点，得坐标为，将直线OA的方程与抛物线方程联立可得，计算直线的斜率即可得到答案.

（1）抛物线的准线为，的焦点为，

由及抛物线定义得点横坐标为4，

由点位于第一象限内且在抛物线上得点坐标为，

于是=1，则直线OA的方程为，与准线联立解得，

因此=，所以直线的方程为，即.

（2）由已知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为，与准线联立

解得，于是，

由已知，故设直线的方程为，与联立并消去得， ，其中.

设，则，则 ，

由于为线段中点，于是点坐标为，

直线OA的方程，与联立解得，

所以直线的斜率为0，综上可知直线的斜率为定值0.