Question

2．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球．乙箱子里装有1个白球、2个黑球．每次游戏从这两个箱子里随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在1次游戏结束后，?①摸出3个白球的概率？?②获奖的概率？
（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）设“摸出3个白球”为事件A，则必须从甲箱子里摸出2个白球，从乙箱子里摸出1个白球与1个黑球．可得P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$．
②设“获奖”为事件B，B包括两种情况：一种是从甲箱子里摸出1个白球与一个黑球，从乙箱子里摸出1个白球与1个黑球；另一种是从甲箱子里摸出2个白球，从乙箱子里3个球中摸出2个球．可得P（B）．
（2）由（1）②可知：在1次游戏中，“获奖”的概率P=$\frac{7}{10}$，因此X～B$（2，\frac{7}{10}）$．利用P（X=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{3}{10}）^{2-k}•（\frac{7}{10}）^{k}$，（k=0，1，2），即可得出分布列与数学期望．

解答 解：（1）设“摸出3个白球”为事件A，则必须从甲箱子里摸出2个白球，从乙箱子里摸出1个白球与1个黑球．
∴P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
②设“获奖”为事件B，B包括两种情况：一种是从甲箱子里摸出1个白球与一个黑球，从乙箱子里摸出1个白球与1个黑球；另一种是从甲箱子里摸出2个白球，从乙箱子里3个球中摸出2个球．
则P（B）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{3}^{2}•{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
（2）由（1）②可知：在1次游戏中，“获奖”的概率P=$\frac{7}{10}$，因此X～B$（2，\frac{7}{10}）$．P（X=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{3}{10}）^{2-k}•（\frac{7}{10}）^{k}$，（k=0，1，2）．

X	0	1	2
P	$\frac{9}{100}$	$\frac{42}{100}$	$\frac{49}{100}$

∴E（X）=$2×\frac{7}{10}$=75．

点评 本题考查了古典概率与相互独立及互斥事件的概率计算公式、二项分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．