Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P，使

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=

a

c

，求双曲线的离心率的范围．

Answer 1

分析：先根据正弦定理得

|PF1|

sin∠PF1F2

=

|PF1|

sin∠PF2F1

，又由已知，得

a

|PF2|

=

c

|PF1|

，最后根据P在双曲线右支上，可得关于e的不等式，进而根据三角函数的范围确定e的范围．

解答：解：根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=

a

c

无意义．
因为在△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF1F2

=

|PF2|

sin∠PF2F1

．
又由已知，得

a

|PF2|

=

c

|PF1|

，即|PF₁|=

c

a

|PF₂|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
|PF₁|-|PF₂|=2a，则

c

a

|PF₂|-|PF₁|=2a，即|PF₂|=

2a2

c-a

，由双曲线的几何性质，知
|PF₂|＞c-a，则

2a2

c-a

＞c-a，即c²-2ac-a²＜0，∴e²-2e-1＜0，解得-

2

+1＜e＜

2

+1，
又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，

2

+1）．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．