Question

1．已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a为常数）．
（1）若f（x）在x=-1处有极值，求a的值并判断x=-1是极大值点还是极小值点；
（2）若f（x）在[-3，-2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，根据f（x）在x=-1处有极值，得到f′（-1）=0，求得a的值，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可判断；
（2）根据f（x）在[-3，-2]上是增函数，转化为f′（x）≥0恒成立，采取分离参数的方法求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=2ax-$\frac{2}{1-x}$，x∈（-∞，1），f′（-1）=-2a-1=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$．这时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2ln （1-x），f′（x）=-x-$\frac{2}{1-x}$=$\frac{（x+1）（x-2）}{1-x}$．
∵x＜1，
∴1-x＞0，x-2＜0
∴当x＜-1时f′（x）＞0，当-1＜x＜1时f′（x）＜0，
∴x=-1是f（x）的极大值点．
（2）f′（x）≥0在x∈[-3，-2]上恒成立，f′（x）≥0，即2ax-$\frac{2}{1-x}$≥0．
∴a≤$\frac{1}{-x2+x}$在x∈[-3，-2]上恒成立，
∵-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈[-12，-6]，
∴$\frac{1}{-x2+x}$∈[-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{12}$]
∴（$\frac{1}{-x2+x}$）_min=-$\frac{1}{6}$，a≤-$\frac{1}{6}$．即a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{6}$]．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，即函数在某点取得极值的条件，恒成立问题一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，在求最值过程中，用到函数的单调性，属中档题．