Question

5．已知点M（m，m²），N（n，n²），其中m，n是关于x的方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0（θ∈R）的两个不等实根．若圆O：x²+y²=1上的点到直线MN的最大距离为d，且正实数a，b，c满足abc+b²+c²=4d，则log₄a+log₂b+log₂c的最大值是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 m，n是关于x的方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0（θ∈R）的两个不等实根．可得m+n=$\frac{-cosθ}{sinθ}$，mn=$\frac{-1}{sinθ}$，由直线MN的方程为：y-m²=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{m-n}$（x-m），化简代入可得：xcosθ+ysinθ-1=0．圆O：x²+y²=1的圆心O（0，0）到直线MN的距离为1，可得圆O上的点到直线MN的最大距离为d=2，由正实数a，b，c满足abc+b²+c²=4d=8，利用基本不等式的性质与对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵m，n是关于x的方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0（θ∈R）的两个不等实根．∴m+n=$\frac{-cosθ}{sinθ}$，mn=$\frac{-1}{sinθ}$，
直线MN的方程为：y-m²=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{m-n}$（x-m），化为：y=（m+n）x-mn，∴xcosθ+ysinθ-1=0．
圆O：x²+y²=1的圆心O（0，0）到直线MN的距离$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=1，
∴圆O上的点到直线MN的最大距离为d=1+1=2，
∴正实数a，b，c满足abc+b²+c²=4d=8，
∴8≥abc+2bc≥2$\sqrt{2a{b}^{2}{c}^{2}}$，化为：ab²c²≤8，当且仅当b=c=$\sqrt{2}$，a=2时取等号．
则log₄a+log₂b+log₂c=$lo{g}_{4}（a{b}^{2}{c}^{2}）$≤log₄8=$\frac{3}{2}$，其最大值是$\frac{3}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、同角三角函数基本关系式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．