Question

【题目】设为坐标原点，⊙上有两点，满足关于直线轴对称.

（1）求的值；

（2）若，求线段的长及其中点坐标.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ,.

【解析】试题分析：把圆的方程配方化为标准方程得出圆心和和半径，圆上有两点关于直线对称，说明直线过圆心，求出m的值；设而不求，设出直线PQ的方程，联立方程组，代入后得出一元二次方程，利用根与洗漱关系求出，利用直线方程求出，由于OP与OQ垂直，数量积为0，列出方程求出参数，利中点公式求出中点坐标，并求出弦长.

试题解析：

（1）⊙可化为，

所以曲线为以为圆心， 为半径的圆，

由已知，直线过圆心，所以，

解之得.

（2）方法一：设的中点为，连结，则

且点必在（1）中所求直线上，即①

又

②

由①②解得：

的长度为，中点坐标为.

方法二：设

联立方程组得

设，则有

又，所以，即，

将代入上式得，所以

所以直线的方程为：

由解得中点的坐标为